Bahas Soal Matematika   »   Pertidaksamaan Matematika   ›  

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \( (\log_a x)^2 + 4 \log_a x + 3 < 0 \) dengan \(a > 1\) adalah…

1. \( a^{-3} < x < a^{-1} \)
2. \( a^{-1} < x < a^{3} \)
3. \( a^{-1} < x < a^{-3} \)
4. \( a^{-3} < x < a \)
5. \( 1 < x < a^{-3} \} \)

(UTBK-SBMPTN 2019)

Pembahasan:

Sebelum kita jawab soal ini, ingat bahwa jika \( {}^a \! \log f(x) > {}^a \! \log g(x) \), maka untuk \( a > 1 \) berlaku \( f(x) > g(x) \) dan untuk \( 0 < a < 1 \) berlaku \( f(x) < g(x) \).

Untuk menyelesaikan soal ini kita bisa sederhanakan pertidaksamaan logaritma di atas dengan memisalkan \( \log_a x = m \). Kita peroleh berikut ini:

Dari hasil di atas, kita peroleh himpunan penyelesaian pertidaksamaannya yaitu \( -3 < m < -1 \).

Selanjutnya, kita kembalikan nilai \( m = \log_a x \). Perhatikan berikut ini:

Jadi, himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan logaritma di atas adalah \( a^{-3} < x < a^{-1} \).

Jawaban A.